| 什么是自適應濾波器
自適應濾波器是能夠根據輸入信號自動(dòng)調整性能進(jìn)行數字信號處理的數字濾波器。作為對比，非自適應濾波器有靜態(tài)的濾波器系數，這些靜態(tài)系數一起組成傳遞函數。
對于一些應用來(lái)說(shuō)，由于事先并不知道所需要進(jìn)行操作的參數，例如一些噪聲信號的特性，所以要求使用自適應的系數進(jìn)行處理。在這種情況下，通常使用自適應濾波器，自適應濾波器使用反饋來(lái)調整濾波器系數以及頻率響應。
總的來(lái)說(shuō)，自適應的過(guò)程涉及到將代價(jià)函數用于確定如何更改濾波器系數從而減小下一次迭代過(guò)程成本的算法。價(jià)值函數是濾波器最佳性能的判斷準則，比如減小輸入信號中的噪聲成分的能力。
隨著(zhù)數字信號處理器性能的增強，自適應濾波器的應用越來(lái)越常見(jiàn)，時(shí)至今日它們已經(jīng)廣泛地用于手機以及其它通信設備、數碼錄像機和數碼照相機以及醫療監測設備中。
下面圖示的框圖是最小均方濾波器(LMS)和遞歸最小平方(en:Recursive least squares filter，RLS，即我們平時(shí)說(shuō)的最小二乘法)這些特殊自適應濾波器實(shí)現的基礎�？驁D的理論基礎是可變?yōu)V波器能夠得到所要信號的估計。
自適應濾波器有4種基本應用類(lèi)型：
1) 系統辨識：這時(shí)參考信號就是未知系統的輸出，當誤差最小時(shí)，此時(shí)自適應濾波器就與未知系統具有相近的特性，自適應濾波器用來(lái)提供一個(gè)在某種意義上能夠最好擬合未知裝置的線(xiàn)性模型
2) 逆模型：在這類(lèi)應用中，自適應濾波器的作用是提供一個(gè)逆模型，該模型可在某種意義上最好擬合未知噪聲裝置。理想地，在線(xiàn)性系統的情況下，該逆模型具有等于未知裝置轉移函數倒數的轉移函數，使得二者的組合構成一個(gè)理想的傳輸媒介。該系統輸入的延遲構成自適應濾波器的期望響應。在某些應用中，該系統輸入不加延遲地用做期望響應。
3) 預測：在這類(lèi)應用中，自適應濾波器的作用是對隨機信號的當前值提供某種意義上的一個(gè)最好預測。于是，信號的當前值用作自適應濾波器的期望響應。信號的過(guò)去值加到濾波器的輸入端。取決于感興趣的應用，自適應濾波器的輸出或估計誤差均可作為系統的輸出。在第一種情況下，系統作為一個(gè)預測器;而在后一種情況下，系統作為預測誤差濾波器。
4) 干擾消除：在一類(lèi)應用中，自適應濾波器以某種意義上的最優(yōu)化方式消除包含在基本信號中的未知干擾�；拘盘栍米髯赃m應濾波器的期望響應，參考信號用作濾波器的輸入。參考信號來(lái)自定位的某一傳感器或一組傳感器，并以承載新息的信號是微弱的或基本不可預測的方式，供給基本信號上。
這也就是說(shuō)，得到期望輸出往往不是引入自適應濾波器的目的，引入它的目的是得到未知系統模型、得到未知信道的傳遞函數的倒數、得到未來(lái)信號或誤差和得到消除干擾的原信號。
自適應濾波通俗點(diǎn)講就是混合信號向期望信號的逼近。在逼近的過(guò)程中，根據觀(guān)測信號與真實(shí)(期望)信號的均放誤差(MSE)為量化指標，按照一定規則進(jìn)行迭代(迭代規則自己可以設定)，直到算法收斂(收斂條件有很多，比如達到預先設定的迭代次數、或達到允許的誤差等)�，F有的常見(jiàn)自適應算法有RLS，LMS，NLMS，往往都是按照梯度下降法或牛頓法進(jìn)行迭代。
算法背景
經(jīng)典的濾波算法包括維納濾波，卡爾曼濾波，這些濾波算法都需要對輸入信號的相關(guān)系數，噪聲功率等參數進(jìn)行估計，而實(shí)際中很難實(shí)現這些參數的準確估計，而這些參數的準確估計直接影響到濾波器的濾波效果。另一方面，這兩類(lèi)濾波器一般設計完成，參數便不可改變，實(shí)際應用中，希望濾波器的參數能夠隨著(zhù)輸入信號的變化而改變，以取得較好的實(shí)時(shí)性處理效果。為了彌補傳統濾波算法的不足，滿(mǎn)足信號處理的要求，又發(fā)展了自適應濾波。
算法基本原理
自適應濾波與維納濾波，卡爾曼濾波最大的區別在于，自適應濾波在輸出與濾波系統之間存在有反饋通道，根據某一時(shí)刻濾波器的輸出與期望信號的誤差調整濾波器的系數，從而實(shí)現濾波器系數的動(dòng)態(tài)調整，實(shí)現最優(yōu)濾波。
(1)信號模型
自適應濾波的目的仍然是從觀(guān)測信號中提取真實(shí)準確的期望信號，因此涉及到的信號有：
期望信號 d(n)
輸入信號 x(n)=d(n)+v(n)
輸出信號 y(n)
(2)算法原理
一個(gè)M階濾波器，系數為w(m)，則輸出為：
y(n)=Σw(m)x(n-m) m=0…M
寫(xiě)成矩陣形式： y(j)=WT(j)*X(j)
n時(shí)刻的輸出誤差為： e(j)=d(j)-y(j)= d(j)- WT(j)*X(j)
定義目標函數為 E[e(j)^2]，則有：
J(j)=E[e(j)^2]= E[(d(j)- WT(j)*X(j))^2]
當上述誤差達到最小時(shí)，即實(shí)現最優(yōu)濾波，這種目標函數確定的為最小方差自適應濾波。
對于目標函數J(j)，需要求得使其取到最小值對應的W，這里使用梯度下降法進(jìn)行最優(yōu)化：
W(j+1)=W(j)+1/2*μ(-▽J(j))
▽J(j)=-2E[X(j)*( d(j)- WT(j)*X(j))]= -2E[X(j)e(j)]
W(j+1)=W(j)+μE[X(j)e(j)]
其中-2X(j)e(j)稱(chēng)為瞬時(shí)梯度，因為瞬時(shí)梯度是真實(shí)梯度的無(wú)偏估計，這里可以使用瞬時(shí)梯度代替真實(shí)梯度。
W(j+1)=W(j)+μX(j)e(j)
由此，可以得到自適應濾波最佳系數的迭代公式。
3.算法的收斂性
在最小均方誤差自適應濾波算法中，最佳濾波器系數應該滿(mǎn)足：
▽J(j)=0
即：-2E[X(j)*( d(j)- WT(j)*X(j))]=0
經(jīng)整理后，可以得到：
WoptT =Rxx-1*Rxd
上式說(shuō)明，自適應濾波的最佳濾波器系數同維納濾波相同，與輸入信號以及期望信號的相關(guān)矩陣有關(guān)。
對W(j+1)=W(j)+μX(j)e(j)等號兩邊求期望，并通過(guò)一系列推導，可得：
E[W(j+1)]=Wopt+Q(I-μΛ)jQH(W0-Wopt)
式中Rxx=QHΛQ， W0為自適應濾波系數的初值。
當j取到無(wú)窮大時(shí)，濾波器應達到最優(yōu)狀態(tài)，因此：
(I-μΛ)j=0，則有：|I-μΛ|《=1
上式即為最小均方自適應濾波的收斂條件。
Λ為輸入信號的自相關(guān)矩陣Rxx的特征值構成的對角陣。
4.變步長(cháng)自適應濾波算法
在整個(gè)迭代過(guò)程中，步長(cháng)不變的情況稱(chēng)為定步長(cháng)算法。為了保證算法的收斂性，一般要取一個(gè)比較小的步長(cháng)值，但步長(cháng)過(guò)小又容易導致算法收斂過(guò)慢。比較理想的情況是，在迭代的初始階段，誤差值較大時(shí)，取一個(gè)較大的迭代步長(cháng)，以實(shí)現較快的收斂速度;隨著(zhù)迭代次數增加，誤差逐漸減小，步長(cháng)也應相應減小，達到較高的收斂精度。這種思想便稱(chēng)為變步長(cháng)自適應濾波算法。
常用的變步長(cháng)自適應濾波算法根據輸入信號的或者誤差值確定步長(cháng)。
這里介紹兩種具體的變步長(cháng)算法：
(1)歸一化變步長(cháng)自適應濾波算法
μj =α/(β+XjTXj)
α，β均為常數，且滿(mǎn)足0《α《2，β》=0。
該算法使用輸入信號的能量對步長(cháng)因子進(jìn)行歸一化，確保其取到合適的值。
(2)Sigmod函數變步長(cháng)自適應濾波算法
μj=β(1-exp(-αej^2))
α，β均為常數，且滿(mǎn)足0《α，0=《β《μmax。
從上述表達式中可以明顯看出，隨著(zhù)誤差增大，步長(cháng)值也增大。
5.解相關(guān)自適應濾波算法
實(shí)驗發(fā)現，當輸入信號之間的相關(guān)性比較強時(shí)，自適應濾波的效果比較差。因此需要去除相鄰兩次輸入信號序列的相關(guān)性，以得到較好的濾波效果。
解相關(guān)自適應濾波算法的實(shí)現過(guò)程為：
r= XjTXj-1/ Xj-1TXj-1
Zj=Xj-rXj-1
μj=βej/ ZjTXj
Wj+1=Wj+μjZj
6.變換域自適應濾波算法
根據解相關(guān)自適應濾波算法的思想，使用一組正交基對輸入信號進(jìn)行變換，在變換域上進(jìn)行自適應濾波，最后再將濾波結果逆變換至時(shí)間域。常見(jiàn)的變換有傅里葉變換，分數階傅里葉變換，小波變換，余弦變換。
算法應用與實(shí)現
下面講述如何在實(shí)際問(wèn)題中應用自適應濾波算法：
問(wèn)題背景：一個(gè)點(diǎn)目標在x，y平面上繞單位圓做圓周運動(dòng)，由于外界干擾，其運動(dòng)軌跡發(fā)生了偏移。其中，x方向的干擾為均值為0，方差為0.05的高斯噪聲;y方向干擾為均值為0，方差為0.06的高斯噪聲。
問(wèn)題分析與思路：
將物體的運動(dòng)軌跡分解為X方向和Y方向，并假設兩個(gè)方向上運動(dòng)相互獨立。分別將運動(dòng)軌跡離散為一系列點(diǎn)，作為濾波器的輸入，分別在兩個(gè)方向上進(jìn)行濾波，最終再合成運動(dòng)軌跡。
程序設計思路：
生成期望信號-添加噪聲-設置濾波器系數初值-迭代運算-最優(yōu)濾波輸出
濾波結果分析：
定步長(cháng)自適應濾波算法
變步長(cháng)自適應濾波算法
解相關(guān)自適應濾波算法 |
