一種常用的測量復雜正弦信號瞬時(shí)頻率的技術(shù)是計算信號瞬時(shí) θ( n ) 相位的導數，如下面的圖 13–60所示。


圖 13–60  使用反正切函數的頻率解調器。

這是傳統的離散信號調頻解調方法，效果很好。解調器的瞬時(shí)輸出頻率為下面的 Eq13-111：


其中f s 是以赫茲為單位的采樣率。

計算瞬時(shí)相位 θ( n ) 需要反正切運算，如果沒(méi)有大量的計算資源，很難準確實(shí)現。這是用于計算等式Δθ( n )的方案。(13–111) 沒(méi)有中間 θ( n ) 相位計算（及其討厭的反正切函數）。我們推導出 ?θ( n ) 計算算法如下，初使用基于以下定義的連續時(shí)間變量：

i ( t ) = 同相信號，
q ( t ) = 正交相位信號，
θ( t ) = tan –1 [ q ( t )/ i ( t )] = 瞬時(shí)相位，
Δθ( t ) = 時(shí)間導數的 θ ( t )。(13-112)  

首先，我們讓r ( t )= q ( t )/ i ( t ) 成為我們試圖計算其反正切導數的信號。微積分恒等式tan –1 [ r ( t )]的時(shí)間導數是


因為 d[ r ( t )]/dt = d[ q ( t )/ i ( t )]/dt，我們使用微積分恒等式對比率的導數來(lái)寫(xiě)


堵塞方程 (13–114) 的結果進(jìn)入 Eq. (13–113)，我們有


替換等式中的r ( t )。(13–115) 和q ( t )/ i ( t ) 產(chǎn)量


我們到了那里。接下來(lái)我們將方程式中個(gè)比率的分子和分母相乘。(13–116) 乘以i 2 ( t )，并將t替換為我們的離散時(shí)間變量索引n以得出我們的終結果

圖 13–61。 無(wú)反正切頻率解調器：（a）標準過(guò)程； (b) 簡(jiǎn)化程序。

圖 13–61(a) 顯示了該算法的實(shí)現，其中i ( n ) 和q ( n ) 的導數分別為i’( n ) 和q ’( n )。Δφ( n ) 輸出序列用于等式。(13–111) 計算瞬時(shí)頻率。

微分器是抽頭數為奇數的抽頭延遲線(xiàn) FIR 微分濾波器。當微分器是一個(gè)系數為 1,0,–1 的 FIR 濾波器時(shí)，參考文獻 [54] 了可接受的結果。

圖 13–61 中的延遲元件用于將i ( n ) 和q ( n ) 與微分器的輸出進(jìn)行時(shí)間對齊，以便在使用K抽頭微分器時(shí)延遲為 ( K –1)/2 個(gè)樣本. 實(shí)際上，可以通過(guò)關(guān)閉微分濾波器的中心抽頭來(lái)獲得延遲。

如果i ( n )+ jq ( n ) 信號是純粹的 FM 和硬限制使得i 2 ( n )+ q 2 ( n ) = 常數，則方程式中的分母計算。(13–117) 不需要執行。在這種情況下，使用 1,0,–1 系數微分器，FM 解調器被簡(jiǎn)化為圖 13–61(b) 中所示的解調器，其中縮放操作是乘以常數的倒數。